1、基于RC理論模型的示波器幅頻特性曲線

　　示波器的帶寬被稱為示波器的一指標(biāo)，而示波器的幅頻特性曲線則直接證明了示波器帶寬指標(biāo)是否符合要求，表征了示波器模擬前端放大器的重要特性。

　　當(dāng)示波器輸入幅值恒定但頻率變化的正弦波時(shí)，示波器測(cè)量到的峰峰值將隨著輸入頻率而變化，這種幅值隨頻率變化的關(guān)系就是示波器的幅頻特性。其實(shí)和示波器的幅頻特性相對(duì)應(yīng)的還有相頻特性，在高端示波器信號(hào)保真度的討論中時(shí)有提及。

　　從數(shù)學(xué)的角度，示波器的頻率響應(yīng)函數(shù) H(jw) 等于輸出y(t)的傅氏變換Y(jw)與輸入x(t)的傅氏變換X(jw)的比值：H(jw) = Y(jw) / X(jw)，一般H(jw)是一個(gè)復(fù)數(shù)，它的模是“幅頻特性”，它的幅角就是“相頻特性”。通過對(duì)數(shù)坐標(biāo)表示幅頻特性的圖形稱為波特圖。

    假設(shè)：

    則傳遞函數(shù)可寫成：

幅頻特性為：

　　據(jù)此畫出一階RC電路的幅頻特性曲線如圖2所示。圖示中的轉(zhuǎn)折頻率點(diǎn)就是輸出電壓降低到輸入的70.7%的頻率，也就是-3dB頻率點(diǎn)。數(shù)字示波器的模擬帶寬就是以此轉(zhuǎn)折頻率點(diǎn)來確定的。

　　2、幅頻特性曲線的不同形狀之八卦

　　特別強(qiáng)調(diào)的是，圖2的幅頻特性曲線只是一種基于RC電路推導(dǎo)得到的傳遞函數(shù)獲得的理論上的幅頻特性曲線，其形狀是高斯響應(yīng)曲線。實(shí)際上的示波器的幅頻特性曲線的形狀不可能是如此完美的高斯響應(yīng)。不同型號(hào)的示波器可能采用了不同形狀的幅頻特性曲線形狀，有的采用磚墻式(矩形)幅頻特性曲線，有的采用四階Bessel曲線，有的采用高斯曲線。但只是逼近這些理想曲線的形狀。

　　早些年，有示波器供應(yīng)商撰文強(qiáng)調(diào)磚墻式曲線是完美的，因?yàn)闇y(cè)量低頻信號(hào)幅值的失真度很小，但隨之受到的攻擊是磚墻式曲線的相位失真很嚴(yán)重，而也有示波器供應(yīng)商則強(qiáng)調(diào)高斯曲線是適合于測(cè)量脈沖快沿信號(hào)，因?yàn)閹挼摹拔舶汀焙荛L(zhǎng)，可以包含更多的信號(hào)能量，但受到的攻擊是高斯響應(yīng)是測(cè)量高速信號(hào)眼圖的“夢(mèng)魘”，因?yàn)楦咚傩盘?hào)的中頻部分被嚴(yán)重衰減，但高速信號(hào)主要的頻率成分在中頻部分以下。

　　我們可以進(jìn)一步推導(dǎo)出示波器的上升時(shí)間和帶寬之間的關(guān)系：上升時(shí)間=0.35/帶寬。這里面0.35也是基于RC電路推導(dǎo)的。但是，實(shí)際的示波器模擬前端并不可能是標(biāo)準(zhǔn)的RC電路模型，幅頻特性曲線形狀各異，實(shí)際的上升時(shí)間和帶寬之間可能是0.4，0.45，0.5等不同的數(shù)值關(guān)系。 不同的幅頻特性曲線可能對(duì)應(yīng)不同的上升時(shí)間。真實(shí)的示波器幅頻特性曲線和上升時(shí)間都是通過計(jì)量標(biāo)定得到的。

　　3、幅頻特性曲線的繪制方法之江湖紛爭(zhēng)

　　幅頻特性曲線繪制方法，筆者在江湖上遇到過的有四種：掃頻點(diǎn)描法，掃頻FFT法，快沿FFT法，底噪FFT法。

　　其中，底噪FFT法就是示波器不輸入任何信號(hào)，僅對(duì)示波器本底噪聲做FFT運(yùn)算，因?yàn)楸镜自肼暿请S機(jī)噪聲，可能包括了各種不同的頻率成分，因此其FFT結(jié)果的高頻成份越豐富，說明示波器帶寬越高。這種方法存在的漏洞非常明顯，是一種典型地在中國(guó)市場(chǎng)上示波器供應(yīng)商忽弄用戶的。

　　真正在計(jì)量上認(rèn)可的方法只有一種，就是掃頻點(diǎn)描法。 下面重點(diǎn)介紹這種方法。

　　3.1 掃頻點(diǎn)描法(幅頻特性曲線的計(jì)量方法)

　　所謂掃頻點(diǎn)描法就是逐漸增大示波器的輸入頻率，示波器測(cè)量每個(gè)頻率點(diǎn)的電壓幅值。 將頻率作為橫坐標(biāo)，每個(gè)頻率點(diǎn)測(cè)量到的電壓值作為縱坐標(biāo)就繪制出幅頻特性曲線。在大學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中有這樣的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目來要求學(xué)生繪制幅頻特性曲線。

　　但是一談到“計(jì)量”這個(gè)詞，人們就會(huì)陷入雞和蛋的深淵。該“相信”誰?相信信號(hào)源的輸出幅值還是相信示波器測(cè)量的結(jié)果? 溯源是關(guān)鍵。 幅頻特性曲線的“計(jì)量”需要正弦波信號(hào)源(高頻時(shí)使用射頻信號(hào)源)，需要計(jì)量過的電纜，計(jì)量過的功分器，計(jì)量過的功率計(jì)。使用功率計(jì)是因?yàn)閺挠?jì)量上來說并不“相信”信號(hào)源的讀數(shù)輸出，而是相信功率計(jì)，因?yàn)楣β视?jì)的精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于示波器。使用功率計(jì)只是保證在低頻和高頻時(shí)的功率是一樣的，并不是將功率計(jì)的結(jié)果和示波器的結(jié)果進(jìn)行逐一比較。專用的示波器檢測(cè)儀器的探頭上帶有功率計(jì)，保證了信號(hào)源輸出功率的一致，就不需要功分器了。

　　完成這樣連接之后，有一種快速了解示波器的幅頻特性是否滿足要求的方法是，查看低頻時(shí)和高頻時(shí)的示波器的幅度差別是否在-3dB以內(nèi)，譬如在低頻時(shí)信號(hào)占滿示波器的6格，在高頻時(shí)應(yīng)占滿4.2格。

　　幅頻特性曲線的計(jì)量和示波器的垂直量程有關(guān)，不同的量程得到的幅頻特性曲線不一樣，因此，需要計(jì)量不同量程時(shí)的幅頻特性曲線; 和采樣率有關(guān)，因?yàn)椴蓸勇蕰?huì)影響到幅值測(cè)量的準(zhǔn)確性，一般要將采樣率設(shè)置為特大; 和連接信號(hào)源與示波器接口之間的電纜有關(guān)，因?yàn)楦哳l時(shí)存在衰減和反射問題，和輸入信號(hào)的幅值大小有關(guān)，因此要用功率計(jì)來保證不同頻率時(shí)的輸出功率相同; 和示波器的輸入通道有關(guān)，不同輸入通道相同量程下的的幅頻特性曲線可能不一樣。

　　考慮到計(jì)量科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，還有幾個(gè)細(xì)節(jié)問題需要討論：

　　(1) 不同量程下輸入正弦信號(hào)的幅值如何定義?

　　標(biāo)定在不同量程下的幅頻特性曲線需要輸入不同幅值的正弦波信號(hào)，否則對(duì)于有些量程，波形會(huì)超出示波器屏幕，而有些量程下波形只占屏幕的一小部分,量化誤差很大。

　　輸入信號(hào)的幅值大小一般以盡量占滿柵格為準(zhǔn)。據(jù)說有規(guī)范上要求是以低頻時(shí)占滿柵格的6格為準(zhǔn)。具體做法就是：在輸入很低頻率時(shí)調(diào)節(jié)信號(hào)源的輸出幅值，使信號(hào)占滿6格，用功率計(jì)測(cè)量此時(shí)信號(hào)的功率，然后逐漸增加頻率，在每一個(gè)頻率點(diǎn)都用功率計(jì)標(biāo)定，確保輸入到示波器輸入端口的能量始終是相同的，然后再測(cè)量每個(gè)頻率點(diǎn)的幅值。

　　(2) 幅頻特性曲線的縱坐標(biāo)的測(cè)量參數(shù)該使用示波器測(cè)量的幅值，峰峰值還是標(biāo)準(zhǔn)偏差值?

　　這個(gè)問題似乎不應(yīng)該討論，但卻一直在小范圍內(nèi)爭(zhēng)論不休，沒有結(jié)論。有的計(jì)量專家要求是以幅值為準(zhǔn)，也有專家認(rèn)為用峰峰值更合適，但也有認(rèn)為合理的是用標(biāo)準(zhǔn)偏差(sdev)。對(duì)于低帶寬示波器，其實(shí)不管采用哪個(gè)測(cè)量參數(shù)，因?yàn)樵Ａ勘容^大，爭(zhēng)議比較少，但在高端示波器，采樣率不是特別大的情況下，測(cè)量峰峰值和幅值的差別會(huì)比較大。但是，對(duì)于現(xiàn)在有些低帶寬示波器，譬如在100MHz帶寬下，采樣率只有250MS/s，計(jì)量時(shí)用幅值或峰峰值的影響也一樣很大。

　　采用幅值的方法被稱為眾數(shù)法，就是以正弦波的頂部和底部出現(xiàn)概率特大的位置作為測(cè)量的依歸，如圖4所示top和base的算法原理。 這樣會(huì)去掉了頂部的一些樣本，以略低于頂部的位置來讀數(shù)。但是峰峰值卻可能把隨機(jī)噪聲也采樣進(jìn)去。 筆者認(rèn)為采用sdev更合理，但是這個(gè)測(cè)量參數(shù)不能被采納為計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)，因?yàn)橛行┑投耸静ㄆ鞑]有sdev這個(gè)測(cè)量參數(shù)。

　　(3) 是將實(shí)時(shí)采樣率設(shè)置為特大，還是等效采樣率設(shè)置為特大?

　　如果按照現(xiàn)在有些專家堅(jiān)持采用幅值來作為計(jì)量依據(jù)，根據(jù)圖4的算法，幅值的測(cè)量精度強(qiáng)烈依賴于采樣樣本數(shù)的大小。如果采用等效采樣方式，可以在頂部和底部通過等效采樣的算法原理“產(chǎn)生”更密集的樣本，雖然這些樣本并不一定完全代表真實(shí)樣本，這對(duì)于計(jì)量中使用信號(hào)源輸出的正弦信號(hào)信號(hào)未必也不是一種好方法。 但是由于等效采樣畢竟不是完全代表真實(shí)的樣本信息，該方法也并沒有被專家們采納。

　　(4) 是否可以采用正弦插值，插值多少個(gè)點(diǎn)是允許的?

　　在實(shí)時(shí)采樣前提下采用正弦插值同樣會(huì)增加幅值測(cè)量的準(zhǔn)確性。筆者了解到正弦插值是可以被接受的，但是具體插值的樣本數(shù)的數(shù)量目前在計(jì)量界也沒有統(tǒng)一的說法。示波器打開正弦插值時(shí)默認(rèn)的插值樣本數(shù)對(duì)于不同型號(hào)的示波器并不一樣，但是插值的樣本數(shù)量會(huì)影響到幅值測(cè)量精度。不同的插值樣本數(shù)可能帶來計(jì)量結(jié)果上的些微偏差。

　　(5) 帶寬范圍以內(nèi)的幅頻特性曲線和理想曲線之間的偏差，光滑度如何定義?

　　這個(gè)問題揭示了示波器測(cè)量的一個(gè)特大的誤差來源。在示波器行業(yè)，并沒有一個(gè)規(guī)范來要求示波器的幅頻特性曲線在帶寬范圍以內(nèi)和理想曲線之間偏差控制在多大。只要在帶寬范圍以內(nèi)，任何量程下的任何頻率點(diǎn)的正弦信號(hào)的輸出電壓大小不降低到輸入的70.7%以下都認(rèn)為該示波器的帶寬是滿足要求的。譬如100MHz帶寬的示波器，輸入100MHz，1V的正弦波，在20MHz時(shí)的輸出電壓是0.8V，在50MHz時(shí)是1.2V，在80MHz時(shí)是0.73V，在100MHz時(shí)是0.71V。這個(gè)示波器是合格的!這樣的數(shù)字化方式來表達(dá)這個(gè)概念讓人印象深刻，但也讓人覺得很郁悶。